Epsilon-Beweis

[Mathematik]

In dem offenen Intervall ]0,1[ lassen sich tatsächlich nicht zwei Zahlen finden, die so dicht aufeinanderfolgen, daß keine dritte Zahl zwischen die beiden schiebbar ist.

Gibt doch etliche dieser Zahlen: 0,5 und 0,4999... zum Beispiel...

[Todoroff]

Mathematik
In dem offenen Intervall ]0,1[ lassen sich tatsächlich nicht zwei Zahlen finden, die so dicht aufeinanderfolgen, daß keine dritte Zahl zwischen die beiden schiebbar ist.
Gibt doch etliche dieser Zahlen: 0,5 und 0,4999... zum Beispiel...
Stimmt! Danke! Damit ist der Irrtum der Mathematiker noch viel größer als ich dachte, denn es gibt AU viele Zahlen, zwischen die keine dritte schiebbar ist:
0,1 - 0,0999...
0,01 - 0,00999...
0,001 - 0,000999...
...
0,11 - 0,10999...
...
0,2 - 0,1999...
...
0,9 - 0,8999...
Damit bedarf dieser Epsilon-Beweis gar keiner Widerlegung, er ist eh Unfug.
Wäre noch zu prüfen, ob es AU viele oder unendlich viele Zahlenpaare sind, die dicht liegen.

[Gast10]

Es gibt eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Zahlen zwischen 0 und 1, welche endliche Ziffernfolge haben und nicht auf 9 enden, und den in der Standardmathematik vorkommenden auf 999... endenen Zahlen - man erhält letztere aus ersteren, indem man an erstere 999... anhängt. Also gibt es nach meinem Kenntnisstand abzählbar unendlich viele davon, nach Ihrem vermutlich nur endlich viele.

Was verstehen Sie unter dem "Epsilon-Beweis" - welche Aussage soll er aus welchen Voraussetzungen beweisen und wie lautet er? Das kann ich http://gtodoroff.de/mathe.htm leider nicht entnehmen.

[Todoroff]

Gast10
Es gibt eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Zahlen zwischen 0 und 1, welche endliche Ziffernfolge haben und nicht auf 9 enden,
verstehe ich nicht
und den in der Standardmathematik vorkommenden auf 999... endenen Zahlen - man erhält letztere aus ersteren, indem man an erstere 999... anhängt.
folglich das auch nicht
Also gibt es nach meinem Kenntnisstand abzählbar unendlich viele davon, nach Ihrem vermutlich nur endlich viele.
In erster, noch nicht vollständig durchdachten Näherung gibt es bei mir auch abzählbar unendlich (AU) viele gleiche Zahlen.
UE = Unendlich
UE - AU = UE
Die Menge aller reellen Zahlen in ]0,1[ bleibt UE

Was verstehen Sie unter dem "Epsilon-Beweis" - welche Aussage soll er aus welchen Voraussetzungen beweisen und wie lautet er? Das kann ich http://gtodoroff.de/mathe.htm leider nicht entnehmen.
Der Epsilon-Beweis ist nach meiner Überzeugung grundsätzlich falsch, weil er das zu Beweisende voraussetzt.
Es sei Epsilon = €
Gezeigt werden soll (in der herrschenden, aber zu korrigierenden Mathematik), daß es kein € > 0 gibt, so daß zwischen € und Null nicht eine dritte Zahl zu schieben ist.
Anders formuliert (€ ist der Abstand von Null): Es gibt kein €>0, das nicht halbiert werden kann.
Fazit:
Mit 1= 0,999... wird umgangen, daß es zwei Zahlen gibt, zwischen die keine dritte schiebbar ist. Wie wir jetzt gerade lernen, gibt es aber AU viele Zahlen, für die das nicht möglich ist, so daß heute in der herrschenden Mathematik gilt:
In ]0,1[ gibt es AU viele identische Zahlen, die einen Abstand von Null voneinander haben wie
1 - 0,999... = 0 und nicht, was ich zu beweisen trachte und m.E. eben bewiesen habe, was aber bis heute nicht anerkannt ist
1 - 0,999... > 0 = Nachfolger von Null in der Menge der reellen Zahlen = ein Urteilchen = Grundbaustein der Materie als kleinstes Element = ein Element des Lichtäthers = reales Zahlelement auf dem Zahlenstrahl als Punkt = Einheit von physikalischem (real) und mathematischen (ideal, imaginär) Punkt = Element für die Einheit von Geist und Materie.
Diese Erkenntnis erlaubt und macht vorstellbar:
Das Universum ist Gott - Gott ist das Universum.
Das Weltall (Raum aller Welten = Sonnen) ist ein endlich großer Teilraum des unendlich (in Wahrheit "nur" abzählbar unendlich) großen Universums.
Weltall = Schöpfung als Teil Gottes in Gott.
Gott besteht aus unendlich vielen Urteilchen, das Weltall "nur" aus abzählbar vielen (=abzählbar unendlich vielen) Urteilchen. Geist=Gott (=maximale Ordnung der Bewegung der Urteilchen) ist der Schöpfer der Materie. Materie ist materialisierter Geist (andere=niedere Ordnung der Bewegung der Urteilchen bis hin zu chaotischer Bewegung = Nichts = das Nichts), was Schöpfung erklärbar macht.
Vergleiche:
Computer, Taschenrechner sind materialisierte Mathematik.
Jedes Bauwerk, alle Technik sind materialisierte Gedanken.
Und diese Gedanken erlauben das Verständnis für:
Materie ist ein Spiegelbild des Geistes
Das Weltall ist ein Spiegelbild Jesu - es hat die Gestalt eines Menschen -, des monogenen Sohnes Gottes, und Jesus, gezeugt von Gott, Seinem Gott und Vater, vor aller Schöpfung, ist das vollkommene Ebenbild Gottes und wir ein Abbild Gottes, dazu berufen, Sein Ebenbild zu werden und damit ist erklärt:
Gott ist nur dann vollkommen, schafft Er Vollkommenes. Da jede Änderung des Vollkommenen Unvollkommenes erschafft, muß Gott Sich theoretisch Selbst noch einmal erschaffen, will Er Vollkommenes erschaffen. Doch ein Spiegelbild ist so vollkommen wie das Gespiegelte und doch anders. Das Weltall ist vollkommen. Die Schöpfung ist vollkommen, weil ein Spiegelbild Gottes. Jesus Christus ist vollkommen, weil ein Ebenbild Gottes, ein ideales=vollkommenes Ebenbild, unser Vorbild. Wir alle sollen werden wie Jesus Christus und werden es am Letzten Tag auch sein, ohne daß Jesus Christus jemals Gott und wir jemals Jesus sein werden.
Wir alle heißt: Auch alle jene, die zunächst für Ewigkeiten in die Hölle wandern, und das sind die meisten, werden "eines Tages" sein wie Jesus und im Himmel.

Der Epsilonbeweis ist zu finden
http://www.gtodoroff.de/mathe.doc (Word-Dokument, wird gelesen von Libre-Office)
Seite 23 - am besten lesbar
http://www.gtodoroff.de/mathe.htm - mit Moszilla suboptimal, mit Windows-Explorer ganz gut lesbar.

[Gast10]

Ich korrigiere und präzisiere: Streicht man in einer (standard-) reellen Zahl zwischen 0 und 1, die auf 999... "endet", alle Neunen ab der Stelle, von der an nur noch Neunen vorkommen, durch (so wird z.B. aus 0,1999... 0,1 und aus 0,191999... 0,191) und streicht dann noch alle Endnullen (so wird aus 0,1900999... zunächst 0,1900 und dann 0,19), dann erhält man entweder 0 oder eine reelle Zahl mit endlicher Ziffernfolge, die nicht auf 0 oder 9 endet. Hängt man umgekehrt an eine nicht auf 9 endende Zahl mit endlicher Ziffernfolge eine endliche Zahl von Nullen (wahlweise auch gar keine) und daran dann die Ziffern 999... an, erhält man eine auf 999... endende Zahl. Führt man dieses Prozedere zweimal mit derselben Ausgangszahl durch, wobei man beim zweiten Mal eine andere Zahl von Nullen wählt als beim ersten Mal, erhält man zwei verschiedene auf 999... endende Zahlen. Führt man das Prozedere mit zwei verschiedenen Ausgangszahlen durch, erhält man ebenfalls zwei verschiedene auf 999... endende Zahlen (egal ob die Zahl der Nullen beide Male gleich ist oder nicht). Es gibt also genauso viele auf ...999 endende (Standard-) Zahlen, wie es Möglichkeiten gibt, zunächst eine Zahl mit endlicher Ziffernfolge auszuwählen und dann eine endliche Anzahl an diese anzuhängender Nullen festzulegen. Das sind nach meinem Kenntnisstand abzählbar viele Möglichkeiten, und ich hätte gedacht, Sie würden nur endlich viele sehen, da Sie sowohl die Menge aller Zahlen mit endlicher Ziffernfolge als auch die Menge der möglichen Anzahlen endlich vieler Nullen (aus mir nach wie vor schleierhaften Gründen) für endlich halten.

Der Epsilon-Beweis ist nach meiner Überzeugung grundsätzlich falsch, weil der das zu Beweisende voraussetzt.
Es sei Epsilon = €
Gezeigt werden soll (in der herrschenden, aber zu korrigierenden Mathematik), daß es kein € > 0 gibt, so daß zwischen € und Null nicht eine dritte Zahl zu schieben ist.
Anders formuliert (€ ist der Abstand von Null): Es gibt kein €>0, das nicht halbiert werden kann.

Und wie lautet der "-Beweis" für diese Aussage? An der genannten Stelle lese ich:


Die mathematische Formulierung der Behauptung:

Die Menge der reellen Zahlen ist in einem endlich großen Intervall, z.B. im offenen Intervall ]0,1[, überabzählbar oder:

Die Menge der reellen Zahlen ist in einem endlich großen Intervall, z.B. im offenen Intervall ]0,1[, nicht zu ordnen oder:

Zwischen zwei beliebige reelle, voneinander verschiedene Zahlen ist immer eine dritte schiebbar oder:

Der Nachfolger von 0N ist nicht findbar

lautet:

Für alle reelle Zahlen x1 , x2 mit

0 < x1 < x2 < 1

existiert eine Zahl Epsilon mit 0 < €

so daß gilt:

x1 + € = x2

______________________________________________________________________________

Dieser Beweis ist so richtig. Aber es ist kein Beweis. (...)

Vor "dieser Beweis" sollte wohl der -Beweis stehen, dort steht aber nur eine Behauptung.

Die mir bekannten Konstruktionen/Definitionen der standard-reellen Zahlen erscheinen mir widerspruchsfrei. In allen diesen Konstruktionen ist beweisbar, dass es - innerhalb der standard-reellen Zahlen - keinen Nachfolger von 0 gibt. Dies zeigt, dass sich die standard-reellen Zahlen nicht zur Beschreibung von dicht liegenden Urteilchen, von denen jedes nächste Nachbarn hat, eignen, und wirft die Frage nach einer entsprechenden Erweiterung dieses Zahlbereichs auf. Wenn Sie allerdings behaupten, innerhalb dieser Konstruktionen, innerhalb der "herrschenden" Mathematik, gäbe es bereits einen Widerspruch, dann wäre es wichtig zu wissen, von welcher Definition der standard-reellen Zahlen Sie ausgehen. Welche Definition hat man Ihnen seinerzeit in Dresden präsentiert?

[Todoroff]

Gast10
Wenn Sie allerdings behaupten, innerhalb dieser Konstruktionen, innerhalb der "herrschenden" Mathematik, gäbe es bereits einen Widerspruch, dann wäre es wichtig zu wissen, von welcher Definition der standard-reellen Zahlen Sie ausgehen. Welche Definition hat man Ihnen seinerzeit in Dresden präsentiert?
Nun, ist für Sie die Behauptung, es gäbe eine (endlich kleine) Zahl, die sich nicht halbieren läßt, kein Widerspruch, weil nicht wahr? So ganz verstehe ich Sie (wieder) nicht.
"Ihre" Konstruktionen sind mir nicht bekannt. Wie konstruiert man reelle Zahlen, wenn nicht durch aufaddieren von 10^(-n) mit n€N (n Element N)?

[Gast10]

Sie stehen aber früh auf...

Nun, ist für Sie die Behauptung, es gäbe eine (endlich kleine) Zahl, die sich nicht halbieren läßt, kein Widerspruch, weil nicht wahr?

Diese Frage verstehe ich jetzt gar nicht mehr... Innerhalb der standard-reellen Zahlen ist die Aussage falsch, aber man kann die Menge der standard-reellen Zahlen um einen (nicht halbierbaren) Nachfolger von 0 erweitern, dies ist aber nicht allein damit getan, dass man abweichend von der üblichen Konstruktion festlegt. So ist der Stand der Dinge.


Eine Konstruktion der standard-reellen Zahlen als "Menge aller Kommazahlen" ist möglich, aber wenn man es "sauber" und lückenlos machen will, eher komplizierter als andere Möglichkeiten. Sie bietet auch wenig Einsicht und wird i.d.R. eher verwendet, wenn man darauf hinweisen will, dass es mehr als rationale Zahlen gibt, ohne weiteres zu erklären oder Verständnis zu vermitteln ("Mathematik für Ingenieure" o.ä., in Lehrbüchern für das Mathematikstudium habe ich das noch nie so gefunden). (und usw.) wird in dieser Konstruktion, wenn sauber durchgeführt, von Anfang an als Definition festgelegt und nicht durch einen (mir immer noch unbekannten) Epsilon-Beweis bewiesen.

Eine (wenn auch mit entsprechendem Aufwand lösbare) Schwierigkeit dieser Konstruktion ist schon einmal: Wie definiert man z.B. Addition und Multiplikation reeller Zahlen? Die schriftlichen Rechenverfahren sind nicht unmittelbar heranziehbar, da man in diesen immer bei der letzten Ziffer beginnen muss, die es bei irrationalen Zahlen (und Periodenzahlen) nicht gibt. Wie wurde dieses Problem in Ihren Vorlesungen gehandhabt?

Jedenfalls, wenn man das alles richtig macht, erhält man eine widerspruchsfreie Definition einer Menge, die man z.B. als reelle Zahlen oder standard-reelle Zahlen bezeichnen kann und die keinen Nachfolger von 0, Vorgänger von 1 u.ä. enthält. Würde man die Vorschrift in dieser Konstruktion fallenlassen und so die Definition ändern und eine andere Menge konstruieren, dann wäre z.B. die Frage: Was ist ? Entweder müsste man die Subtraktion so definieren, dass sich eine reelle Zahl, also nach Definition eine Kommazahl, als Ergebnis ergibt (welche sollte das aber sein?) oder man müsste sich damit abfinden, Rechenarten nicht für alle Zahlen definieren zu können (im Prinzip in Ordnung, davor schrecken Positivisten aber eher zurück und bevorzugen den "bequemen" Ausweg ).

Würde man das also so machen, dann hätte man z.B. einen Vorgänger von 1, aber noch keinen Nachfolger von 0. Nun könnte man die Definition der reellen Zahlen weiter ändern und einen Nachfolger von 0 hinzufügen, der im Gegensatz zu den bisherigen standard-reellen Zahlen keine Kommazahl ist, sondern z.B. als notiert wird. Aber naheliegenderweise sollte man dann auch noch einen Nachfolger des Nachfolgers von 0 und einen Vorgänger des Vorgängers von 1 usw. hinzufügen und müsste klar sagen, was man alles hinzufügt bzw. wie die neue Definition der reellen Zahlen, die all solches enthält, aussehen soll.


Ich hoffe, hiermit etwas Problembewusstsein geschaffen und Interesse an einer "sauberen" Konstruktion der reellen Zahlen geweckt zu haben. Eine solche, die m.E. transparenteste und, ist die Definition der Menge der reellen Zahlen als Menge aller "Dedekindschen Schnitte". Ein Dedekindscher Schnitt ist, grob gesagt, eine Zerlegung von in zwei Hälften, eine "Untermenge" und eine "Obermenge". Zerlegt man z.B. in die Menge aller rationalen Zahlen kleiner 1 und die Menge aller rationalen Zahlen größer gleich 1, hat man einen möglichen Dedekindschen Schnitt - dieser entspricht der rationalen Zahl 1. Aber es gibt auch Dedekindsche Schnitte, die keiner rationalen Zahl entsprechen, z.B. wenn man als Untermenge alle negativen rationalen Zahlen und die positiven rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner 2 ist, nimmt, und als Obermenge alle positiven rationalen Zahlen mit Quadrat größer gleich 2. Dieser Schnitt steht dann für eine reelle, nicht rationale, Zahl, die man üblicherweise Wurzel aus 2 nennt. In dieser Konstruktion lassen sich auch Addition usw. ziemlich einfach definieren und manche Beweise einfach führen, dazu bei Bedarf mehr.

[Todoroff]

Gast10
Nun, ist für Sie die Behauptung, es gäbe eine (endlich kleine) Zahl, die sich nicht halbieren läßt, kein Widerspruch, weil nicht wahr?
Diese Frage verstehe ich jetzt gar nicht mehr... Innerhalb der standard-reellen Zahlen ist die Aussage falsch,
Nein, genau da ist sie richtig, weil ja behauptet wird, man könne zwischen beliebige reellen Zahlen IMMER eine dritte schieben, was angeblich der (falsche) Epsilon-Beweise beweise.

aber man kann die Menge der standard-reellen Zahlen um einen (nicht halbierbaren) Nachfolger von 0 erweitern, dies ist aber nicht allein damit getan, dass man abweichend von der üblichen Konstruktion festlegt. So ist der Stand der Dinge.
1.
Den Stand der Dinge versuche ich (erfolglos und hoffnungslos) zu erweitern.
2.
Doch, damit ist es getan, denn dann gibt es abzählbar viele Zahlenpaare, zwischen die keine dritte Zahl zu schieben ist, was theoretisch eigentlich schon immer klar ist, da jeder davon ausgeht, wir ich glaube, daß die reellen Zahlen dicht liegen, was der Epsilon-Beweis widersinnigerweise widerlegt. Aber der ist, wie gezeigt, falsch!

Eine Konstruktion der standard-reellen Zahlen als "Menge aller Kommazahlen" ist möglich, aber wenn man es "sauber" und lückenlos machen will, eher komplizierter als andere Möglichkeiten.
Bestreite ich!
1.
Ich führe SPIEGELUNG als mathematisch Option ein. Das heißt, wir können alle natürlichen Zahlen der Art

...,0

am Komma spiegeln und erhalten so ALLE denkbaren reellen Zahlen in ]0,1[ und alle durch Addition von n€N.

123.456.789,0 -> 0,987 654 321

2.
Beschränken wir die Menge aller natürlicher Zahlen nicht auf Zahlen mit nur endlicher Ziffernfolge, wie Sie das widersinnigerweise, weil grundlos, tun, dann erhält man alle reellen Zahlen zunächst in ]0,1[ dadurch, daß man alle natürlichen Zahlen in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise darstellt wie z.B.

123.456.789 = 1,23456789 * 10^8

um dann diese Zahl mit 10^(-9) zu multiplizieren

= 0,123 456 789

also allgemein erhält man jede reelle Zahl aus einer natürlichen in wissenschaftlicher Schreibweise (1,...*10^n ; 2,...*10^n ; ...; 9,...*10^n) indem man diese mit 10^(-n-1) multipliziert. Es ist auch hinreichend, alle 0,-Zahlen, also alle reellen Zahlen in ]0,1[, durch endlose Addition von 1 in ALLE reellen Zahlen zu wandeln. Damit ist zugleich bewiesen, daß alle reellen Zahlen in ]0,1[ nur AU sind und nicht UE oder N ist nicht mehr AU.
Die gleiche Zahlenmenge erhält man m.E. durch das endlose Addieren von 1-0,999..., wobei das real als Rechenoperation nicht möglich ist, sondern nur zu denken, also nur theoretisch möglich ist.

PS:
Die Menge der reellen Zahlen ergibt sich HEUTE noch definitionsgemäß aus Q, der Menge der rationalen Zahlen, plus alle irrationalen Zahlen, von denen außer PI und e nur die Wurzeln aus Primzahlen bekannt sind, die aber bei weitem keine dicht liegende Zahlenmenge ergibt, auch dann nicht, wie ich glaube, wenn man alle n-ten Wurzeln dazu nimmt (n€N), da nach meiner Überzeugung es nur endlich viele Primzahlen gibt, und, was wir nicht prüfen können, die Ziffernfolgen einiger Wurzeln vielleicht übereinstimmen ab einer bestimmten Zahl von Ziffern.

Wie definiert man z.B. Addition und Multiplikation reeller Zahlen? Die schriftlichen Rechenverfahren sind nicht unmittelbar heranziehbar, da man in diesen immer bei der letzten Ziffer beginnen muss, die es bei irrationalen Zahlen (und Periodenzahlen) nicht gibt. Wie wurde dieses Problem in Ihren Vorlesungen gehandhabt?
Dem Problem weichen Mathematiker nach meinem Kenntnisstand bis heute aus, weil nicht lösbar.
Plichta hat hier einen mich faszinierende Trick angewandt bei

1/9 * 1/9 = 1 / 81 = Mondmasse der Erde: m/Mond = 1/81 m/Erde

= 0,111... * 0,111... = 0,0 123 456 789 (10) (11) (12) ... n € N


Was ist ?
Definitionsgemäß der Nachfolger von Null in R, was einem Urteilchen entspricht in der Realität. Beides, der Nachfolger von Null in R in der Zahlenwelt und EIN Urteilchen sind real nicht zu finden, nur zu denken = ALLE "Realität" ist nur ein Gedanke Gottes.

Entweder müsste man die Subtraktion so definieren, dass sich eine reelle Zahl, also nach Definition eine Komma-Zahl, als Ergebnis ergibt (welche sollte das aber sein?) oder man müsste sich damit abfinden, Rechenarten nicht für alle Zahlen definieren zu können (im Prinzip in Ordnung, davor schrecken Positivisten aber eher zurück und bevorzugen den "bequemen" Ausweg ).
Korrekt! BEQUEM! Aber falsch und deshalb kein Ausweg.

Würde man das also so machen, dann hätte man z.B. einen Vorgänger von 1, aber noch keinen Nachfolger von 0.
Doch, aber nur zu denken.

Nun könnte man die Definition der reellen Zahlen weiter ändern und einen Nachfolger von 0 hinzufügen, der im Gegensatz zu den bisherigen standard-reellen Zahlen keine Kommazahl ist, sondern z.B. als notiert wird.
Das ist eine Kommazahl = 0,000...1 mit AU Nullen nach dem Komma, also ein ewig(!) = endlos währender PROZESS, wie das Leben.

Aber naheliegenderweise sollte man dann auch noch einen Nachfolger des Nachfolgers von 0 und einen Vorgänger des Vorgängers von 1 usw. hinzufügen und müsste klar sagen, was man alles hinzufügt bzw. wie die neue Definition der reellen Zahlen, die all solches enthält, aussehen soll.
Auch das läßt sich nur theoretisch bewerkstelligen durch

n*(1-0,99...)

wie

n * PI

womit ja auch gerechnet wird.

[Gast10]

Nun, ist für Sie die Behauptung, es gäbe eine (endlich kleine) Zahl, die sich nicht halbieren läßt, kein Widerspruch, weil nicht wahr?
Diese Frage verstehe ich jetzt gar nicht mehr... Innerhalb der standard-reellen Zahlen ist die Aussage falsch,
Nein, genau da ist sie richtig, weil ja behauptet wird, man könne zwischen beliebige reellen Zahlen IMMER eine dritte schieben,

Eben, das wird behauptet, mit anderen Worten, es wird behauptet, jede Zahl lasse sich halbieren.
was angeblich der (falsche) Epsilon-Beweise beweise.

Nochmal, ich kann unter http://www.gtodoroff.de/mathe.doc , Seite 23, zwar den Begriff "Epsilon-Beweis" finden, nicht aber den Beweis - vielleicht ist es nur Blindheit, wie lautet er denn genau? Ich kann mir auch nicht vorstellen, was Sie damit meinen - dass innerhalb der standard-reellen Zahlen, z.B. wie angesprochen als Menge aller Dedekindschen Schnitte konstruiert, zwischen zwei beliebige Zahlen eine dritte schiebbar ist, wird üblicherweise bewiesen, indem für alle, auch irrationale, Zahlen die Grundrechenarten definiert werden, was einem dann erlaubt, (a+b)/2 als Zahl zwischen a und b zu finden. Ich sehe auch (nach wie vor) keinen Fehler in diesem Beweis. Er beweist eben, dass sich die standard-reellen Zahlen nicht zur Beschreibung "dicht liegender" Urteilchen mit nächsten Nachbarn eignen, und wirft die Frage nach dafür geeigneten Erweiterungen oder Alternativen auf.


Den Stand der Dinge versuche ich (erfolglos und hoffnungslos) zu erweitern.

Nicht doch - dass die Annahme dicht liegender Urteilchen, die nächste Nachbarn haben, es erlauben würde, deren Wechselwirkung als elastische Stöße zu denken, ist schon einmal "angekommen".


(...) da jeder davon ausgeht, wir ich glaube, daß die reellen Zahlen dicht liegen (...)
In dem Sinne, wie Sie es wohl meinen, liegen die standard-reellen Zahlen definitiv nicht dicht. Unter "dicht" versteht man in der Mathematik allerdings etwas ganz anderes, und das ist vielleicht eine Quelle von Missverständnissen: Eine Teilmenge A heißt dicht in der Menge M, wenn in jedem beliebigen Intervall (bzw. in höheren Dimensionen in jeder Kugel oder "Umgebung") um jeden beliebigen Punkt aus M ein Element von A zu finden ist. In diesem Sinne liegen bereits die standard-rationalen Zahlen dicht in den standard-reellen Zahlen, sogar auch die Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen, und dass die standard-reellen Zahlen dicht in sich selbst liegen, ist in diesem Sinne auch richtig, aber trivial.

Eine Konstruktion der standard-reellen Zahlen als "Menge aller Kommazahlen" ist möglich, aber wenn man es "sauber" und lückenlos machen will, eher komplizierter als andere Möglichkeiten.

Bestreite ich!

Gut, unter "Konstruktion" habe ich jetzt auch die Bereitstellung der Grundrechenarten verstanden, in diesem Sinne bleibt meine Aussage stehen, siehe weiter unten.


Beschränken wir die Menge aller natürlicher Zahlen nicht auf Zahlen mit nur endlicher Ziffernfolge, wie Sie das widersinnigerweise, weil grundlos, tun, dann erhält man alle reellen Zahlen zunächst in ]0,1[ dadurch, daß man alle natürlichen Zahlen in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise darstellt wie z.B.

123.456.789 = 1,23456789 * 10^8

um dann diese Zahl mit 10^(-9) zu multiplizieren

= 0,123 456 789

also allgemein erhält man jede reelle Zahl aus einer natürlichen in wissenschaftlicher Schreibweise (1,...*10^n ; 2,...*10^n ; ...; 9,...*10^n) indem man diese mit 10^(-n-1) multipliziert.


Das ist falsch, weil nicht jede standard-reelle Zahl, also nicht jeder Dedekindsche Schnitt, durch endlich viele Nachkommastellen darstellbar ist (z.B. Wurzel aus 2), trotz des Umstandes, dass zur Konstruktion der Dedekindschen Schnitte nur natürliche Zahlen mit endlicher Ziffernfolge verwendet werden.

Wie definiert man z.B. Addition und Multiplikation reeller Zahlen? Die schriftlichen Rechenverfahren sind nicht unmittelbar heranziehbar, da man in diesen immer bei der letzten Ziffer beginnen muss, die es bei irrationalen Zahlen (und Periodenzahlen) nicht gibt. Wie wurde dieses Problem in Ihren Vorlesungen gehandhabt?
Dem Problem weichen Mathematiker nach meinem Kenntnisstand bis heute aus, weil nicht lösbar.

Wer hat Ihnen denn das gesagt? Die Summe zweier beliebiger reeller Zahlen x und y, aufgefasst als Dedekindsche Schnitte mit Unter- und Obermenge bzw. lässt sich einfach als der Dedekindsche Schnitt definieren, der als Untermenge die Menge aller (rationalen) Zahlen a+b mit und und als Obermenge das Komplement (den Rest) hat. Multiplizieren geht ähnlich.


Plichta hat hier einen mich faszinierende Trick angewandt bei

1/9 * 1/9 = 1 / 81 = Mondmasse der Erde: m/Mond = 1/81 m/Erde

= 0,111... * 0,111... = 0,0 123 456 789 (10) (11) (12) ... n € N


Na ja, genauso könnte man pi²=9,6(25)(14)... schreiben - da gäbe es dann eben kein erkennbares Muster - aber als Definition taugt das nicht und eine Definition dieser Produkte liegt eben (seit spätestens dem 19. Jahrundert) vor.

Nun könnte man die Definition der reellen Zahlen weiter ändern und einen Nachfolger von 0 hinzufügen, der im Gegensatz zu den bisherigen standard-reellen Zahlen keine Kommazahl ist, sondern z.B. als notiert wird.
Das ist eine Kommazahl = 0,000...1 mit AU Nullen nach dem Komma, also ein ewig(!) = endlos währender PROZESS, wie das Leben.

Ist ...999 nur als endlos währender Prozess zu denken, dann gibt es keine letzte, also ...999-te, Nachkommastelle (so haben Sie es mir an anderer Stelle auch gesagt), und 1-0,99... ist demzufolge nicht als Kommazahl darstellbar. Damit habe ich auch kein Problem, ich weise nur darauf hin, dass dann die reellen Zahlen einschließlich Nachfolger von 0 usw. nicht als Menge aller Kommazahlen definierbar sind und ich gerne wüsste, als was Sie sie dann definieren, bzw. ob Sie eine vergleichbar ausgearbeitete Definition wie z.B. die Definition der standard-reellen Zahlen als Menge aller Dedekindschen Schnitte haben.

Aber naheliegenderweise sollte man dann auch noch einen Nachfolger des Nachfolgers von 0 und einen Vorgänger des Vorgängers von 1 usw. hinzufügen und müsste klar sagen, was man alles hinzufügt bzw. wie die neue Definition der reellen Zahlen, die all solches enthält, aussehen soll.
Auch das läßt sich nur theoretisch bewerkstelligen durch

n*(1-0,99...)

wie

n * PI

womit ja auch gerechnet wird.

Klar. Außerdem braucht man auch negative n, um auch alle Vorgänger zu haben, und auch alle Zahlen 1+n*(1-0,99...) usw., und darauf ziele ich mit "ausgearbeitet" - klar die Menge ALLER reellen Zahlen zu definieren.




Damit ist zugleich bewiesen, daß alle reellen Zahlen in ]0,1[ nur AU sind und nicht UE oder N ist nicht mehr AU.
Ja, zählt man zu den natürlichen Zahlen auch solche mit nicht abbrechender Ziffernfolge und definiert "abzählbar" entsprechend, dann ist die Menge aller Kommazahlen mit 0 vor dem Komma abzählbar (und Cantors zweites Diagonalargument, das nur für den auf den standard-natürlichen Zahlen beruhenden Abzählbarkeitsbegriff gilt, falsch). Übrigens ist dann, entgegen dem, was ich http://www.gtodoroff.de/mathe.doc entnehme, auch die Menge ALLER Kommazahlen abzählbar.
Beweis: Eine eineindeutige Abbildung von der Menge aller Kommazahlen auf die Menge aller natürlichen Zahlen (einschließlich nicht abbrechender Ziffernfolge) erhält man, indem man zunächst jede Kommazahl, die nur endlich viele Stellen vor oder nach dem Komma hat, mit Nullen auffüllt (z.B. 1,23 -> ...0001,23000...), dann den Nachkommateil abschneidet, spiegelt und mit dem Vorkommateil ineinanderschiebt (wie die Finger beim Falten der Hände, also aus ...cba,uvw... wird ...wcvbua).


(...)alle irrationalen Zahlen, von denen außer PI und e nur die Wurzeln aus Primzahlen bekannt sind,


Ein paar weitere standard-irrationale Zahlen sind schon noch bekannt, z.B. 0,123456789101112..., oder . Alle nicht abbrechenden Kettenbrüche der Form

mit beliebigen standard-natürlichen Zahlen a,b,c,... sind standard-irrational.


die aber bei weitem keine dicht liegende Zahlenmenge ergibt,


Nach dem, was man üblicherweise unter "dicht" versteht, schon, da reichen schon die rationalen Zahlen, siehe oben, in dem Sinne, dass sie benachbart sind, nicht.


(...) da nach meiner Überzeugung es nur endlich viele Primzahlen gibt (...)


- Bereits unter den natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge gibt es unendlich viele Primzahlen, wie der Beweis von Euklid zeigt. Mir ist klar, dass Sie die Menge aller natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge für endlich halten, und ich denke, dass dies und nur dies zu klären ist, um alle weiteren Meinungsverschiedenheiten bzgl. natürlicher Zahlen zu klären.
- Bleibt jedenfalls noch die Frage, ob es Primzahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge gibt. Hier wäre erst einmal eine Defintion des Produktes natürlicher Zahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge vonnöten, um überhaupt zu wissen, was es heißen würde, dass eine Zahl mit nicht abbrechender Ziffernfolge eine ebensolche Primzahl als Primfaktor enthält.
- Denke ich erstmal nur an Produkte nicht abbrechender mit abbrechenden natürlichen Zahlen (die sich gemäß schriftlicher Multiplikation definieren lassen), dann drängt sich mir in der Tat schon allein aus diesen Spezialfällen der Verdacht auf, dass es (fast?) keine Primzahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge gibt. "Fast jede" "Zahl" mit nicht abbrechender Ziffernfolge ist ja durch "fast jede" standard-natürliche Zahl teilbar.

Beispiel:
...
...370370*3 = ...1110
...37037037*3 = ...1111
...3703704*3 = ...1112
...
sind lauter aufeinander folgende "Zahlen", die alle durch 3 teilbar sind. (Ähnliche Beispiele kann man finden, wenn man 3 durch irgendeine standard-natürliche Zahl ersetzt, die keinen Primfaktor 2 oder 5 enthält.)


(...)und, was wir nicht prüfen können, die Ziffernfolgen einiger Wurzeln vielleicht übereinstimmen ab einer bestimmten Zahl von Ziffern.


Da ich Zahlen nicht primär als Ziffernfolgen sehe, sehe ich auch dieses Problem nicht. und stimmen im Übrigen in allen Nachkommastellen überein.

[Todoroff]

Gast10

also allgemein erhält man jede reelle Zahl aus einer natürlichen in wissenschaftlicher Schreibweise (1,...*10^n ; 2,...*10^n ; ...; 9,...*10^n) indem man diese mit 10^(-n-1) multipliziert.

Das ist falsch, weil nicht jede standard-reelle Zahl, also nicht jeder Dedekindsche Schnitt, durch endlich viele Nachkommastellen darstellbar ist (z.B. Wurzel aus 2),
Sie, nicht ich, behaupten doch, es gäbe keine natürlichen Zahlen mit AU Ziffernfolge, ohne die dann daraus logisch zwingend folgende Größte angeben zu können.
Obige Konstruktion liefert alle reellen Zahlen, auch alle Wurzeln aus allen Primzahlen.
Der Dedekindsche Schnitt ist mir nicht zugänglich.

eine Definition dieser Produkte liegt eben (seit spätestens dem 19. Jahrundert) vor.
aber kein Ergebnis.

Ist ...999 nur als endlos währender Prozess zu denken, dann gibt es keine letzte, also ...999-te, Nachkommastelle
Doch, wieder als Prozeß, also nicht endlich viele Nachkommastellen, sondern abzählbar viele (nicht endend).
(so haben Sie es mir an anderer Stelle auch gesagt), und 1-0,99... ist demzufolge nicht als Kommazahl darstellbar.
Korrekt! PI ist es ja auch nicht. Solche "Zahlen" sind nur zu denken. 1-0,999... ist eben ebenfalls als ein ewig währender Prozeß zu denken, in dem an 0,000... immer weiter eine Null angehangen wird, bei dem erst nach dem Verlassen des Endlichen ein 1 erscheint.

Damit habe ich auch kein Problem, ich weise nur darauf hin, dass dann die reellen Zahlen einschließlich Nachfolger von 0 usw. nicht als Menge aller Kommazahlen definierbar sind und ich gerne wüsste, als was Sie sie dann definieren, bzw. ob Sie eine vergleichbar ausgearbeitete Definition wie z.B. die Definition der standard-reellen Zahlen als Menge aller Dedekindschen Schnitte haben.
Nein. Nüchtern betrachtet sind das keine (wirklichen) Zahlen mehr, weil eben nicht durch endliche Ziffernfolgen darstellbar, also gar nicht darstellbar wie PI und e, die wir dennoch als Zahlen begreifen, obwohl auch sie endlose Prozesse sind.

Aber naheliegenderweise sollte man dann auch noch einen Nachfolger des Nachfolgers von 0 und einen Vorgänger des Vorgängers von 1 usw. hinzufügen und müsste klar sagen, was man alles hinzufügt bzw. wie die neue Definition der reellen Zahlen, die all solches enthält, aussehen soll.
Mit theoretischer Mathematik habe ich es gar nicht. Das ist aus meinem Blickwinkel nur Selbstbefriedigung. Mit ist es gleichgültig, wie was definiert wird - ich will damit arbeiten können.

Übrigens ist dann, entgegen dem, was ich http://www.gtodoroff.de/mathe.doc entnehme, auch die Menge ALLER Kommazahlen abzählbar.
Beweis: Eine eineindeutige Abbildung von der Menge aller Kommazahlen auf die Menge aller natürlichen Zahlen (einschließlich nicht abbrechender Ziffernfolge) erhält man, indem man zunächst jede Kommazahl, die nur endlich viele Stellen vor oder nach dem Komma hat, mit Nullen auffüllt (z.B. 1,23 -> ...0001,23000...), dann den Nachkommateil abschneidet, spiegelt und mit dem Vorkommateil ineinanderschiebt (wie die Finger beim Falten der Hände, also aus ...cba,uvw... wird ...wcvbua).
Nun, das bestreite ich. Es gibt AU (endlich große) Intervalle und in jedem Intervall sind AU Kommazahlen, und die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ergibt eine überabzählbar Menge (in meinem Kopf oder Herz?)

Nach dem, was man üblicherweise unter "dicht" versteht, schon, da reichen schon die rationalen Zahlen, siehe oben, in dem Sinne, dass sie benachbart sind, nicht.
Ich versteh unter dicht liegend etwas anderes = keine Lücke auf dem Zahlenstrahl.

- Bereits unter den natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge gibt es unendlich viele Primzahlen,
Das ist unmöglich!
wie der Beweis von Euklid zeigt. Mir ist klar, dass Sie die Menge aller natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge für endlich halten, und ich denke, dass dies und nur dies zu klären ist, um alle weiteren Meinungsverschiedenheiten bzgl. natürlicher Zahlen zu klären.
Das kann gut sein.

- Bleibt jedenfalls noch die Frage, ob es Primzahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge gibt. Hier wäre erst einmal eine Defintion des Produktes natürlicher Zahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge vonnöten, um überhaupt zu wissen, was es heißen würde, dass eine Zahl mit nicht abbrechender Ziffernfolge eine ebensolche Primzahl als Primfaktor enthält.
Das sind nicht meine, weil theoretische Probleme der Mathematik.
Ich kann nur wiederholen: Spiegle ich PI am Komma oder lösche es einfach, so erhalte ich eine natürliche Zahl mit endloser Ziffernfolge, mit der es nicht möglich ist, wie mit PI, tatsächliche mathematische Operationen auszuführen - um 2*PI zu bilden müßten wir zunächst PI kennen, was nicht möglich ist.

- Denke ich erstmal nur an Produkte nicht abbrechender mit abbrechenden natürlichen Zahlen (die sich gemäß schriftlicher Multiplikation definieren lassen), dann drängt sich mir in der Tat schon allein aus diesen Spezialfällen der Verdacht auf, dass es (fast?) keine Primzahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge gibt. "Fast jede" "Zahl" mit nicht abbrechender Ziffernfolge ist ja durch "fast jede" standard-natürliche Zahl teilbar.
Das Bildungsgesetz für Primzahlen - alle bekannten miteinander zu multiplizieren und dann 1 zu addieren, ergibt immer Primzahlen mit endlicher Ziffernfolge und bei weiten nicht alle, weil auf diesem Weg mehr Primzahlen übersprungen als gebildet werden, so daß es keineswegs zwingend ist, daß eine so gewonnene Primzahl auch eine ist. Hier müßte zunächst ein anderes Bildungsgesetz angewandt werden. Kennen Sie eins?

Beispiel:
...
...370370*3 = ...1110
...37037037*3 = ...1111
...3703704*3 = ...1112
...
sind lauter aufeinander folgende "Zahlen", die alle durch 3 teilbar sind. (Ähnliche Beispiele kann man finden, wenn man 3 durch irgendeine standard-natürliche Zahl ersetzt, die keinen Primfaktor 2 oder 5 enthält.)

Da ich Zahlen nicht primär als Ziffernfolgen sehe, sehe ich auch dieses Problem nicht.
Vielleicht ist das unser Problem. Wie sehen Sie Zahlen?

[Gast10]

Sie, nicht ich, behaupten doch, es gäbe keine natürlichen Zahlen mit AU Ziffernfolge, ohne die dann daraus logisch zwingend folgende Größte angeben zu können.

Wenn man zu einer beliebigen standard-natürlichen Zahl (also mit endlicher Ziffernfolge) 1 addiert, erhält man nachweislich wieder eine standard-natürliche Zahl. Es gibt also keine größte mit endlicher Ziffernfolge - das ist völlig unabhängig davon, ob man denkt, die standard-natürlichen Zahlen seien "alle" oder es seien auch solche mit nicht abbrechender Ziffernfolge zu berücksichtigen. Woraus die Existenz einer größten logisch zwingend folgen soll, bleibt mir somit unklar.


Obige Konstruktion liefert alle reellen Zahlen, auch alle Wurzeln aus allen Primzahlen.


Wie begründen Sie, dass Ihre Konstruktion z.B. die Wurzel aus 2 enthält?


Der Dedekindsche Schnitt ist mir nicht zugänglich.

Lässt sich das näher sagen, was daran nicht zugänglich ist?

eine Definition dieser Produkte liegt eben (seit spätestens dem 19. Jahrundert) vor.
aber kein Ergebnis.

Doch, natürlich, was wäre daran sonst Definition? Das Ergebnis von ist z.B. definiert als Dedekindscher Schnitt mit und .
Wenn z.B. aus allen rationalen Zahlen besteht, die entweder negativ sind oder Quadrat kleiner als 2 haben, und aus allen positiven rationalen Zahlen mit Quadrat größer als 2, dann steht für die Wurzel aus 2. Stellt man ähnlich die Wurzel aus 3 als dar, dann ist hiermit definiert als Paar der Mengen und , wobei aus allen denkbaren Summen von rationalen Zahlen besteht, deren erster Summand negativ ist oder quadriert weniger als 2 ergibt, und deren zweiter Summand negativ ist oder quadriert weniger als 3 ergibt, und aus allen denkbaren Summen von rationalen Zahlen, deren erster Summand quadriert mehr als 2 und deren zweiter Summand quadriert mehr als 3 ergibt.
Man hat hier genauso wenig einen Überblick über alle Elemente von oder wie über alle Nachkommastellen der Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl, aber man hat trotz dieses fehlenden Überblicks eine Definition der Summe zweier standard-reeller Zahlen als standard-reelle Zahl, mit der man dann weiter arbeiten kann.

Korrekt! PI ist es ja auch nicht.
(...)
Spiegle ich PI am Komma oder lösche es einfach, so erhalte ich eine natürliche Zahl mit endloser Ziffernfolge, mit der es nicht möglich ist, wie mit PI, tatsächliche mathematische Operationen auszuführen - um 2*PI zu bilden müßten wir zunächst PI kennen, was nicht möglich ist.


Was verstehen Sie eigentlich unter Pi?

1-0,999... ist eben ebenfalls als ein ewig währender Prozeß zu denken, in dem an 0,000... immer weiter eine Null angehangen wird, bei dem erst nach dem Verlassen des Endlichen ein 1 erscheint.

"Nach dem Verlassen des Endlichen" scheint mir noch reichlich unpräzise. "Wann" genau? Da gibt es, sagen Sie, ja noch abzählbar unendlich viele Stellen.

Mit theoretischer Mathematik habe ich es gar nicht. Das ist aus meinem Blickwinkel nur Selbstbefriedigung. Mit ist es gleichgültig, wie was definiert wird - ich will damit arbeiten können.

- Ist Mathematik nicht, wenn von Ihnen als Verstehen von Zusammenhängen charakterisiert, immer theoretisch? Was für eine Mathematik soll es noch geben? Der Rest ist doch Rechnen.
- Es ging hier ja nicht darum, bestimmte allgemein der Mathematik zugeordnete Bereiche gutzuheißen oder zu verwerfen, sondern in dem Bereich, über den wir gerade reden, klar zu sagen, was Sache ist. Wenn Sie Aussagen über die Menge aller reellen Zahlen treffen und unter dieser Menge eine andere als üblich verstehen, warum sehen Sie es nicht als Ihre Aufgabe, in der zur Behandlung der berührten Themen erforderlichen Klarheit zu sagen/definieren/..., was Sie damit meinen? Es macht ja nichts, dass eine solche Definition nicht vorliegt, wenn eine vorläge, wäre sie auch nicht danach zu beurteilen, ob sie üblichen Lehrbuchcharakter hat und in diesem Sinne "theoretische Mathematik" ist, aber wie kann man die Frage nach einer sauberen Definition der reellen Zahlen von weiteren Fragen über diese reellen Zahlen loslösen?

Nun, das bestreite ich. Es gibt AU (endlich große) Intervalle und in jedem Intervall sind AU Kommazahlen, und die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ergibt eine überabzählbar Menge (in meinem Kopf oder Herz?)

Mein Beweis zeigt, wenn er richtig ist, dass auch bezüglich Ihrem Abzählbarkeitsbegriff abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, auch wenn, anders als mit den standard-natürlichen Zahlen, Cantors Diagonalargument nicht zur Begründung heranziehbar ist. Vielleicht ist es ja falsch, dass man Zahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge wie von mir behauptet ineinanderschieben kann, aber warum sollte es das sein?

Das Bildungsgesetz für Primzahlen - alle bekannten miteinander zu multiplizieren und dann 1 zu addieren,


Das ist kein Bildungsgesetz - auf die Weise erreicht man schon nach ziemlich wenig Schritten eine Nicht-Primzahl. Euklids Bildungsgesetz lautet: Alle bekannten miteinander multiplizieren, 1 addieren, vom Ergebnis (wenn es selber keine Primzahl ist, was eben vorkommen kann) die Primfaktorzerlegung bilden, einen beliebigen Primfaktor auswählen, dieser ist dann größer als alle Primzahlen, die ins Produkt eingegangen sind.


ergibt immer Primzahlen mit endlicher Ziffernfolge und bei weiten nicht alle, weil auf diesem Weg mehr Primzahlen übersprungen als gebildet werden, so daß es keineswegs zwingend ist, daß eine so gewonnene Primzahl auch eine ist. Hier müßte zunächst ein anderes Bildungsgesetz angewandt werden.

Um zu zeigen, dass die Menge aller Primzahlen nicht endlich ist, reicht es, zu zeigen, dass eine Teilmenge davon nicht endlich ist, wenn das gelingt, ist es egal, wie viele weitere ausgelassene es noch gibt.


Kennen Sie eins?

Ein Computerprogramm zu schrieben, das der Reihe nach eine Primzahl nach der anderen ausgibt, ist unproblematisch. Ein Bildungsgesetz, dass keine Versuch-Irrtum-Komponente beinhaltet, sondern irgendwie auf einem Verständnis der Primzahlverteilung beruht und/oder erlaubt, direkt die 1000000-te Primzahl zu bestimmen, ohne vorige zu kennen, ist auch mir nicht bekannt.

Da ich Zahlen nicht primär als Ziffernfolgen sehe, sehe ich auch dieses Problem nicht.
Wie sehen Sie Zahlen?

Als Proportionen. Wurzel aus 2 ist das Verhältnis aus Diagonale und Seitenlänge im Quadrat, Pi das Verhältnis aus Kreisumfang und -durchmesser, die Menge der positiven standard-reellen Zahlen ist die Menge aller innerhalb eines Systems gleichartiger Größen, von denen jede beliebige Größe jede beliebige andere durch endliches Vervielfachen übertreffen kann, denkbaren Verhältnisse.
Diese Auffassung muss nicht so bleiben, Urteilchen bilden kein solches System von Größen, ob ich eine Menge, die sich zu deren Beschreibung eignet, als Zahlenmenge bezeichnen möchte oder nicht, ist irrelevant, aber da nach meiner Erfahrung diese Auffassung von den standard-reellen Zahlen viel besser handhabbar ist als die Auffassung als Ziffernfolgen, habe ich zumindest keinen Anlass zu erwarten, dass die "Urteilchen-Menge" eine aus Ziffernfolgen bestehende sein sollte.

[Todoroff]

Gast10

Wenn man zu einer beliebigen standard-natürlichen Zahl (also mit endlicher Ziffernfolge) 1 addiert, erhält man nachweislich wieder eine standard-natürliche Zahl.
Das ist klar. Und wenn ich diesen Prozeß endlos fortsetze, was erhalte ich dann?

Es gibt also keine größte mit endlicher Ziffernfolge - das ist völlig unabhängig davon, ob man denkt, die standard-natürlichen Zahlen seien "alle" oder es seien auch solche mit nicht abbrechender Ziffernfolge zu berücksichtigen.
In einer geordneten Menge wie N muß es unter endlich vielen Elementen logisch zwingend ein größtes Element geben. Andernfalls wäre sie nicht geordnet.

Woraus die Existenz einer größten logisch zwingend folgen soll, bleibt mir somit unklar.
Beschränken wir N auf Zahlen mit endlichen Ziffernfolgen/-kombinationen, so ist diese Menge nur eine Teilmenge von N. N enthält grundsätzlich aber unendlich (UE) viele Elemente.

Obige Konstruktion liefert alle reellen Zahlen, auch alle Wurzeln aus allen Primzahlen.

Wie begründen Sie, dass Ihre Konstruktion z.B. die Wurzel aus 2 enthält?
Beginnen wir bei Null und addieren in einem endlosen Prozeß die Zahl1, so erhalten wir ALLE möglichen Ziffernkombinationen in Form von Zahlen. Das ist lückenlos. Über einen solchen Prozeß erhalten wir auch die Ziffernfolge von PI, e, Wurzel 2 usw., wobei wir die Kommata wegdenken. Da die Ziffernfolgen irrationaler Zahlen aber endlos sind, müssen wir in N "Zahlen" mit endlosen Ziffernfolgen zulassen, die wiederum, realistisch betrachtet, nicht wirklich Zahlen sind, sondern endlose Prozesse, eben ins UE reichende "Zahlen".

eine Definition dieser Produkte liegt eben (seit spätestens dem 19. Jahrundert) vor.
aber kein Ergebnis.

Doch, natürlich, was wäre daran sonst Definition? Das Ergebnis von ist z.B. definiert als Dedekindscher Schnitt mit und .
Wenn z.B. aus allen rationalen Zahlen besteht, die entweder negativ sind oder Quadrat kleiner als 2 haben, und aus allen positiven rationalen Zahlen mit Quadrat größer als 2, dann steht für die Wurzel aus 2. Stellt man ähnlich die Wurzel aus 3 als dar, dann ist hiermit definiert als Paar der Mengen und , wobei aus allen denkbaren Summen von rationalen Zahlen besteht, deren erster Summand negativ ist oder quadriert weniger als 2 ergibt, und deren zweiter Summand negativ ist oder quadriert weniger als 3 ergibt, und aus allen denkbaren Summen von rationalen Zahlen, deren erster Summand quadriert mehr als 2 und deren zweiter Summand quadriert mehr als 3 ergibt.
Man hat hier genauso wenig einen Überblick über alle Elemente von oder wie über alle Nachkommastellen der Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl, aber man hat trotz dieses fehlenden Überblicks eine Definition der Summe zweier standard-reeller Zahlen als standard-reelle Zahl, mit der man dann weiter arbeiten kann.
Genau das meine ich mit theoretische Mathematik, die ich gar nicht mag. Produkt und Summe sind definiert als Element einer Menge, was zumindest mich keinen Schritt weiterbringt. In meinem Kopf werden hier überflüssigerweise Selbstverständlichkeiten hochwissenschaftlich definiert, und doch kennen wir die Zahlen nicht - wo liegt der Nutzen. Für mich ist das Selbstbefriedigung.


Spiegle ich PI am Komma oder lösche es einfach, so erhalte ich eine natürliche Zahl mit endloser Ziffernfolge, mit der es nicht möglich ist, wie mit PI, tatsächliche mathematische Operationen auszuführen - um 2*PI zu bilden müßten wir zunächst PI kennen, was nicht möglich ist.
Was verstehen Sie eigentlich unter Pi?
Hm, dasselbe wie Sie, denke ich, eine irrationale Zahl, das Verhältnis des Umfanges eines Kreises zu seinem Durchmesser.

1-0,999... ist eben ebenfalls als ein ewig währender Prozeß zu denken, in dem an 0,000... immer weiter eine Null angehangen wird, bei dem erst nach dem Verlassen des Endlichen ein 1 erscheint.
"Nach dem Verlassen des Endlichen" scheint mir noch reichlich unpräzise. "Wann" genau? Da gibt es, sagen Sie, ja noch abzählbar unendlich viele Stellen.
Korrekt. Das ist unpräzise! Präzission gibt es, wenn überhaupt, nur im Endlichen, nicht im Unendlichen (UE).

- Ist Mathematik nicht, wenn von Ihnen als Verstehen von Zusammenhängen charakterisiert, immer theoretisch? Was für eine Mathematik soll es noch geben? Der Rest ist doch Rechnen.
Korrekt. Zumindest sehe ich das so. Wir können mit irrationalen Zahlen nicht wirklich rechnen, aber Zusammenhänge erkennen. Z.B: Alle Himmelskörper (Sonnen, Planeten und Monde) sind Kugeln, also optimierte Körper (Maximales Volumen mit minimaler Oberfläche), zu deren Berechnung PI unabdingbar ist. Gott scheint mit diesen irrationalen Zahle, e und PI, zu arbeiten, was zu erkennen ist, wie ich glaube, an

e^(i*PI) = -1 mit i²=-1

- Es ging hier ja nicht darum, bestimmte allgemein der Mathematik zugeordnete Bereiche gutzuheißen oder zu verwerfen, sondern in dem Bereich, über den wir gerade reden, klar zu sagen, was Sache ist. Wenn Sie Aussagen über die Menge aller reellen Zahlen treffen und unter dieser Menge eine andere als üblich verstehen,
Ich sehe nicht, daß ich eine andere Menge R als die übliche verstehe.

warum sehen Sie es nicht als Ihre Aufgabe, in der zur Behandlung der berührten Themen erforderlichen Klarheit zu sagen/definieren/..., was Sie damit meinen? Es macht ja nichts, dass eine solche Definition nicht vorliegt, wenn eine vorläge, wäre sie auch nicht danach zu beurteilen, ob sie üblichen Lehrbuchcharakter hat und in diesem Sinne "theoretische Mathematik" ist, aber wie kann man die Frage nach einer sauberen Definition der reellen Zahlen von weiteren Fragen über diese reellen Zahlen loslösen?
Hier vermag ich Ihnen nicht zu folgen.

Nun, das bestreite ich. Es gibt AU (endlich große) Intervalle und in jedem Intervall sind AU Kommazahlen, und die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ergibt eine überabzählbar Menge (in meinem Kopf oder Herz?)
Mein Beweis zeigt,
welcher?
wenn er richtig ist, dass auch bezüglich Ihrem Abzählbarkeitsbegriff abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, auch wenn, anders als mit den standard-natürlichen Zahlen, Cantors Diagonalargument nicht zur Begründung heranziehbar ist. Vielleicht ist es ja falsch, dass man Zahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge wie von mir behauptet ineinanderschieben kann,
wie definieren Sie das?
aber warum sollte es das sein?
Warum sollte was sein?

Das Bildungsgesetz für Primzahlen - alle bekannten miteinander zu multiplizieren und dann 1 zu addieren,

Das ist kein Bildungsgesetz - auf die Weise erreicht man schon nach ziemlich wenig Schritten eine Nicht-Primzahl. Euklids Bildungsgesetz lautet: Alle bekannten miteinander multiplizieren, 1 addieren, vom Ergebnis (wenn es selber keine Primzahl ist, was eben vorkommen kann) die Primfaktorzerlegung bilden, einen beliebigen Primfaktor auswählen, dieser ist dann größer als alle Primzahlen, die ins Produkt eingegangen sind.
Für mich haben Sie dasselbe Bildungsgesetz, nur präziser, formuliert (und wohl mit einem Fehler).
Fangen wir mal an:
2*3 = 6 + 1 = 7 <=> Primzahl 5 nicht erfaßt, was in der Folge stetig zunimmt (die nicht erfaßten), woraus folgt, daß dieses Bildungsgesetz keines ist.
2*3*5 = 60 + 1 = 61
nicht erfaßte Primzahlen sind:
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 = 14 Primzahlen (stetig wachsende Anzahl)

Um zu zeigen, dass die Menge aller Primzahlen nicht endlich ist, reicht es, zu zeigen, dass eine Teilmenge davon nicht endlich ist, wenn das gelingt, ist es egal, wie viele weitere ausgelassene es noch gibt.
Halte ich nicht für möglich.
Wir können vielleicht festhalten, daß wir nie alle Primzahlen kennen werden, in gleicher Weise wir nie eine irrationale Zahl vollständig kennen werden. Unsere Computer würden sich totrechnen, bedenkt man, daß sie bereits 10 Millionen Jahre bräuchten, nur um auf die geschätzte Zahl von Sternen des Weltalls (10^25) hochzuzählen.

Ein Computerprogramm zu schrieben, das der Reihe nach eine Primzahl nach der anderen ausgibt, ist unproblematisch.
Glaube ich nicht.

Ein Bildungsgesetz, dass keine Versuch-Irrtum-Komponente beinhaltet, sondern irgendwie auf einem Verständnis der Primzahlverteilung beruht und/oder erlaubt, direkt die 1000000-te Primzahl zu bestimmen, ohne vorige zu kennen, ist auch mir nicht bekannt.
Mit obigem Bildungsgesetz, das man programmieren kann, ermittelt man ja nicht alle Primzahlen, wie gezeigt. Wie also dann? Jede neue natürliche Zahl durch alle vorangegangen teilen und auf Ganzzahligkeit prüfen? Das ist ein explodierender, exponentiell wachsender Prozeß, zeitlich nicht lösbar.

Da ich Zahlen nicht primär als Ziffernfolgen sehe, sehe ich auch dieses Problem nicht.
Wie sehen Sie Zahlen?
Als Proportionen. Wurzel aus 2 ist das Verhältnis aus Diagonale und Seitenlänge im Quadrat, Pi das Verhältnis aus Kreisumfang und -durchmesser, die Menge der positiven standard-reellen Zahlen ist die Menge aller innerhalb eines Systems gleichartiger Größen, von denen jede beliebige Größe jede beliebige andere durch endliches Vervielfachen übertreffen kann, denkbaren Verhältnisse.
Okay. Ich behaupte, daß Sie auf diesem Weg nicht alle reellen Zahlen (auf dem Zahlenstahl) erfassen, sondern erhebliche und unendliche viel Lücken hinterlassen.

Diese Auffassung muss nicht so bleiben, Urteilchen bilden kein solches System von Größen, ob ich eine Menge, die sich zu deren Beschreibung eignet, als Zahlenmenge bezeichnen möchte oder nicht, ist irrelevant, aber da nach meiner Erfahrung diese Auffassung von den standard-reellen Zahlen viel besser handhabbar ist als die Auffassung als Ziffernfolgen, habe ich zumindest keinen Anlass zu erwarten, dass die "Urteilchen-Menge" eine aus Ziffernfolgen bestehende sein sollte.
Außer man wollte sie unsinnigerweise zählen.

[Gast10]

Wenn man zu einer beliebigen standard-natürlichen Zahl (also mit endlicher Ziffernfolge) 1 addiert, erhält man nachweislich wieder eine standard-natürliche Zahl.
Das ist klar.

Wirklich? Das war ja bis jetzt immer ein Knackpunkt. Um sicherzugehen: "Standard-natürlich" schreibe ich immer für endliche Ziffernfolge, ich sage also, zu jeder natürlichen Zahl n mit endlicher Ziffernfolge gibt es eine größere (z.B. n+1) mit endlicher Ziffernfolge. Begründung ist aus meiner Sicht: Wenn man z.B. einmal weniger 10 aufmultipliziert, wie man 1 aufaddieren muss, um n zu erhalten, macht man einen Rechenschritt weniger als beim Aufaddieren, aber läuft in jedem Schritt (viel) mehr als eins weiter, erhält also eine Zahl größer als n (mit n Ziffern, also endlicher Ziffernfolge). Kurz: 10^{n-1} ist eine Zahl mit endlicher Ziffernfolge (n Ziffern, und somit in einem endlichen, abbrechenden Zählprozess erreichbar), die größer als n ist. (Natürlich funktioniert das Argument erst ab n=2.)
Es gibt also, wenn das Argument stimmt, keine größte natürliche Zahl mit endlicher Ziffernfolge, die standard-natürlichen Zahlen bilden also keine endliche Menge.


Und wenn ich diesen Prozeß endlos fortsetze, was erhalte ich dann?

Eben diesen Prozess, aber kein Ergebnis im eigentlichen Sinne, sonst wäre es ja kein endloser Prozess. Die Frage ist nun, welche Bereiche im Laufe dieses endlosen Prozesses durchlaufen werden. Darauf weiß ich keine Antwort. Aufgrund der Beobachtung, dass bereits die Menge aller natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge keine endliche Menge ist bzw. kein größtes Element hat, besteht zumindest die Option, dass sich ein solcher endloser Zählprozess nur innerhalb dieser Menge abspielen würde. Wie schließen Sie diese Option aus und begründen, durch solche endlosen Zählprozesse aus der selber schon endlosen Menge der Zahlen mit endlicher Ziffernfolge auszubrechen und z.B. "Pi ohne Komma" erfassen zu können?

In einer geordneten Menge wie N muß es unter endlich vielen Elementen logisch zwingend ein größtes Element geben.

Ja, unter endlich vielen schon.

Wie begründen Sie, dass Ihre Konstruktion z.B. die Wurzel aus 2 enthält?
Beginnen wir bei Null und addieren in einem endlosen Prozeß die Zahl1, so erhalten wir ALLE möglichen Ziffernkombinationen in Form von Zahlen. Das ist lückenlos. Über einen solchen Prozeß erhalten wir auch die Ziffernfolge von PI, e, Wurzel 2 usw., wobei wir die Kommata wegdenken.

Sie setzen hier voraus, dass Wurzel 2 durch eine Ziffernfolge gegeben ist, meine Frage war aber, warum bzw. in welcher Weise das so sein sollte. Ich verstehe unter Wurzel 2 die positive standard-reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt (oder die Diagonalenlänge im Einheitsquadrat). Dann bleibt die Frage: Wie multiplizieren Sie Ziffernfolgen und wie begründen Sie, dass es eine Ziffernfolge gibt, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt?

Das Ergebnis von ist z.B. definiert als Dedekindscher Schnitt mit und . (...)
Genau das meine ich mit theoretische Mathematik, die ich gar nicht mag. Produkt und Summe sind definiert als Element einer Menge, was zumindest mich keinen Schritt weiterbringt. In meinem Kopf werden hier überflüssigerweise Selbstverständlichkeiten hochwissenschaftlich definiert, und doch kennen wir die Zahlen nicht - wo liegt der Nutzen. Für mich ist das Selbstbefriedigung.

Hier wird klar definiert, was unter reellen Zahlen verstanden wird, und klar gesagt, welche reelle Zahl als Summe oder Produkt zweier gegebener reeller Zahlen verstanden wird. Dies ist die einfachste mir bekannte Definition. Eine andere haben wir (noch) nicht - wenn Sie irgendwie ganz "selbstverständlich" sagen können, wie Sie zwei Ziffernfolgen multiplizieren, dann stört es mich nicht, wenn die Definition nicht "hochwissenschaftlich" aussieht, keine Mengenklammern enthält usw.

Korrekt. Das ist unpräzise! Präzission gibt es, wenn überhaupt, nur im Endlichen, nicht im Unendlichen (UE).

Wovon genau die Rede ist, muss aber trotzdem klar bleiben.

Gott scheint mit diesen irrationalen Zahle, e und PI, zu arbeiten, was zu erkennen ist, wie ich glaube, an

e^(i*PI) = -1 mit i²=-1

stellt eine Rotation um den (im Bogenmaß angegebenen) Winkel dar (in dem Sinne, dass, wenn man eine komplexe Zahl mit multipliziert, ihr Ortsvektor in der Ebene um den Winkel gedreht wird). Pi sind 180 Grad - so gesehen sagt die Formel nur, dass eine halbe Drehung um einen Nullpunkt einem Vorzeichenwechsel gleichkommt, drückt also hochkompliziert einen Sachverhalt aus, zu dessen verständlicher Formulierung man weder e noch Pi braucht. Mir ist aber nicht klar, ob ich durch diese Sichtweise Wichtiges ausblende, und aus diesem Grund ist mir die ganze komplexe Analysis nicht wirklich klar.

warum sehen Sie es nicht als Ihre Aufgabe, in der zur Behandlung der berührten Themen erforderlichen Klarheit zu sagen/definieren/..., was Sie damit meinen? Es macht ja nichts, dass eine solche Definition nicht vorliegt, wenn eine vorläge, wäre sie auch nicht danach zu beurteilen, ob sie üblichen Lehrbuchcharakter hat und in diesem Sinne "theoretische Mathematik" ist, aber wie kann man die Frage nach einer sauberen Definition der reellen Zahlen von weiteren Fragen über diese reellen Zahlen loslösen?
Hier vermag ich Ihnen nicht zu folgen.

Siehe weiter oben - wenn wir z.B. über eine Zahl reden, deren Quadrat 2 ergibt, muss erstmal klar sein (nicht unbedingt im Sinne einer "Lehrbuchdefinition", sondern eben einfach "klar"), was eine Zahl ist, wie man Zahlen quadriert und warum es eine Zahl gibt, die quadriert 2 ergibt.

Nun, das bestreite ich. Es gibt AU (endlich große) Intervalle und in jedem Intervall sind AU Kommazahlen, und die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ergibt eine überabzählbar Menge (in meinem Kopf oder Herz?)
Mein Beweis zeigt,
welcher?
wenn er richtig ist, dass auch bezüglich Ihrem Abzählbarkeitsbegriff abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, auch wenn, anders als mit den standard-natürlichen Zahlen, Cantors Diagonalargument nicht zur Begründung heranziehbar ist. Vielleicht ist es ja falsch, dass man Zahlen mit nicht abbrechender Ziffernfolge wie von mir behauptet ineinanderschieben kann,
wie definieren Sie das?
aber warum sollte es das sein?
Warum sollte was sein?

Der Beweis vom 31.1.: Indem man ...dcba,uvwx... auf ...xdwcvbua abbildet ("Spiegeln und Ineinanderschieben"), wird aus jeder "reellen Zahl mit AU Ziffernfolge" eine "natürliche Zahl mit AU Ziffernfolge". Abbrechende Ziffernfolgen sind vor Anwendung dieses Verfahrens mit Nullen "aufzufüllen". Da mir die "Zahlen mit AU Ziffernfolge" eben unklar sind, liege ich - wenn es sie gibt - vielleicht falsch, dass man sie so ineinanderschieben kann, aber wenn man sowohl die Zahlen als auch das Ineinanderschieben als Prozess denkt, sehe ich nicht, was daran falsch sein könnte.

Für mich haben Sie dasselbe Bildungsgesetz, nur präziser, formuliert (und wohl mit einem Fehler).
Fangen wir mal an:
2*3 = 6 + 1 = 7 <=> Primzahl 5 nicht erfaßt, was in der Folge stetig zunimmt (die nicht erfaßten), woraus folgt, daß dieses Bildungsgesetz keines ist.
2*3*5 = 60 + 1 = 61
nicht erfaßte Primzahlen sind:
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 = 14 Primzahlen (stetig wachsende Anzahl)

2
2+1=3
2*3+1=7
2*3*7+1=43
2*3*7*43+1=1807

1807=13*139 ist keine Primzahl und mit 13 taucht ein Primfaktor auf, von dem es zunächst aussah, als sei er ausgelassen worden. Mir ist nicht bekannt, ob bekannt ist, ob im Laufe dieses Algorithmus Primzahlen ausgelassen werden. Aber da man in jedem Schritt auf Primzahligkeit überprüfen muss, wird es wohl ein besonders ineffizienter Algorithmus sein.


Wir können vielleicht festhalten, daß wir nie alle Primzahlen kennen werden, in gleicher Weise wir nie eine irrationale Zahl vollständig kennen werden. Unsere Computer würden sich totrechnen, bedenkt man, daß sie bereits 10 Millionen Jahre bräuchten, nur um auf die geschätzte Zahl von Sternen des Weltalls (10^25) hochzuzählen.

Ja, das können wir, wenn ich diese Fixierung auf das Kennen von Nachkommastellen auch nicht verstehe. Dass Wurzel 2 kein Bruch aus standard-natürlichen Zahlen ist, kann man sehen, ohne sich um eine einzige Nachkommastelle zu kümmern. Dass die Kreisfläche r^2*\pi ist, wenn das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser \pi genannt wird, ebenfalls.

Mit obigem Bildungsgesetz, das man programmieren kann, ermittelt man ja nicht alle Primzahlen, wie gezeigt. Wie also dann? Jede neue natürliche Zahl durch alle vorangegangen teilen und auf Ganzzahligkeit prüfen? Das ist ein explodierender, exponentiell wachsender Prozeß, zeitlich nicht lösbar.

Zum Beispiel. Es soll wohl auch einen nur polynomial wachsenden Primzahltest geben - dass das Finden der nächsten Primzahl immer länger dauert, ist allerdings klar, das muss ja z.B. Finden gerader Zahlen oder beim bloßen Zählen auch schon so sein, bis dann irgendwann die erreichte Zahl nicht mehr in den Speicher passt. Theoretisch ist dagegen sofort klar, dass es unendlich viele gerade Zahlen gibt.

Wurzel aus 2 ist das Verhältnis aus Diagonale und Seitenlänge im Quadrat, Pi das Verhältnis aus Kreisumfang und -durchmesser, die Menge der positiven standard-reellen Zahlen ist die Menge aller innerhalb eines Systems gleichartiger Größen, von denen jede beliebige Größe jede beliebige andere durch endliches Vervielfachen übertreffen kann, denkbaren Verhältnisse.
Okay. Ich behaupte, daß Sie auf diesem Weg nicht alle reellen Zahlen (auf dem Zahlenstahl) erfassen, sondern erhebliche und unendliche viel Lücken hinterlassen.

Sofern es Urteilchen mit nächsten Nachbarn gibt, erfasse ich diese definitiv nicht, daher bin ich ja auch an einer erweiterten Zahlenmenge interessiert.

[Todoroff]

Gast10
Wenn man zu einer beliebigen standard-natürlichen Zahl (also mit endlicher Ziffernfolge) 1 addiert, erhält man nachweislich wieder eine standard-natürliche Zahl.
Das ist klar.
Wirklich?
Ja, wirklich. Solange wir im Endlichen sind, ist das richtig. Mir aber scheint, daß Sie Schwierigkeiten haben, das Unendlich zu denken. N enthält unendlich viele Elemente, was Sie m.E. nicht berücksichtigen, die wir alle der Größe nach ordnen können, was wir ABZÄHLBAR UNENDLICH nennen.

Es gibt also, wenn das Argument stimmt, keine größte natürliche Zahl mit endlicher Ziffernfolge, die standard-natürlichen Zahlen bilden also keine endliche Menge.
Das KANN(!) nicht wahr sein, weil sonst N nur endliche viel Elemente enthielte. Jede Zahl in N mit endlich vielen Ziffern ist eine endliche Zahl, also das, was wir gemeinhin unter einer Zahl verstehen. In diesem Sinne wäre aber schon PI keine Zahl mehr.

Und wenn ich diesen Prozeß endlos fortsetze, was erhalte ich dann?
Eben diesen Prozess, aber kein Ergebnis im eigentlichen Sinne, sonst wäre es ja kein endloser Prozess.
Stimmt, aber 0,999... ist nur so zu ermitteln, zu denken. Irgendwie verlassen wir hier die Realität und sind im Geistigen, im Imaginären. Weil aber DAS Imaginäre schlechthin Gott ist, und Er real ist, bewegen wir uns zwischen den Welten. Zahlen sind schließlich auch irgendwie nicht real, nicht in der Materie zu finden, also letztlich nur im Geiste existent. Und denken kann man, jedenfalls ich, einen unendlichen Prozeß zu Ende, so daß doch ein Ergebnis vorliegt.

Die Frage ist nun, welche Bereiche im Laufe dieses endlosen Prozesses durchlaufen werden. Darauf weiß ich keine Antwort. Aufgrund der Beobachtung, dass bereits die Menge aller natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge keine endliche Menge ist
Falsch!
bzw. kein größtes Element hat, besteht zumindest die Option, dass sich ein solcher endloser Zählprozess nur innerhalb dieser Menge abspielen würde.
Nein, weil die endliche Ziffernfolge überschritten wird.
Dazu habe ich mal folgendes Bild entwickelt. Wir fliegen auf einer Geraden durch das Weltall, haben Sonnen vor uns und hinter uns. Irgendwann haben wir keine Sonnen mehr vor uns, sondern nur noch hinter uns. Dann schmilzt das gesamte Weltall hinter uns zu einem Punkt zusammen - wie sind noch im Endlichen. Ist auch dieser Weltall-Punkt verschwunden, sind wir in der Unendlichkeit. Es gibt kein ZURÜCK mehr; jegliche Orientierung ist verloren.

Wie schließen Sie diese Option aus und begründen, durch solche endlosen Zählprozesse aus der selber schon endlosen Menge der Zahlen mit endlicher Ziffernfolge
Falsch! Ein endloser Zählprozeß (Addition von 1) liefert zwingend Zahlen mit endlosen Ziffernfolgen und zwar unendlich viele.

auszubrechen und z.B. "Pi ohne Komma" erfassen zu können?
Sehe Ihr Problem nicht!

Sie setzen hier voraus, dass Wurzel 2 durch eine Ziffernfolge gegeben ist,
Nein. Auch Wurzel 2 ist ein Ziffernfolge, welche auch immer, die durchlaufen wird, ohne sie dabei als Wurzel 2 zu erkennen.

Ich verstehe unter Wurzel 2 die positive standard-reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt (oder die Diagonalenlänge im Einheitsquadrat).
Sie klammern sich an solche Ausnahmefälle. PI^2 können Sie ja auch nicht als Ziffernfolge darstellen.

Dann bleibt die Frage: Wie multiplizieren Sie Ziffernfolgen und wie begründen Sie, dass es eine Ziffernfolge gibt, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt?
Im Unendlichen kann man nicht Rechnen, nur im Endlichen.
(Wurzel 2)^2 ist keine Rechen-, sondern eine Gedankenoperation, da wir die Ziffernfolge nicht kennen.

Hier wird klar definiert, was unter reellen Zahlen verstanden wird, und klar gesagt, welche reelle Zahl als Summe oder Produkt zweier gegebener reeller Zahlen verstanden wird. Dies ist die einfachste mir bekannte Definition. Eine andere haben wir (noch) nicht - wenn Sie irgendwie ganz "selbstverständlich" sagen können, wie Sie zwei Ziffernfolgen multiplizieren, dann stört es mich nicht, wenn die Definition nicht "hochwissenschaftlich" aussieht, keine Mengenklammern enthält usw.
Sie verrennen sich da m.E. in etwas, was nicht real ist. Diese Definition ist eine Definition, nicht mehr, unsinnig.

Wovon genau die Rede ist, muss aber trotzdem klar bleiben.
Unsinn. Sie können doch auch nicht sagen, aus wieviel Atomen Ihr Körper besteht und es sind nur endlich viele. Wo ist das Klarheit?

[Gast10]

Wenn man zu einer beliebigen standard-natürlichen Zahl (also mit endlicher Ziffernfolge) 1 addiert, erhält man nachweislich wieder eine standard-natürliche Zahl.
Das ist klar.
Wirklich?
Ja, wirklich. Solange wir im Endlichen sind, ist das richtig.

Gut. Können Sie dann vielleicht noch einmal für einen Moment versuchen, mich zu begleiten, wenn ich von diesem für richtig befundenen Ausgangspunkt aus weiterdenke? (Es mag für Sie ein befremdlicher Ausgangspunkt sein, um zum Unendlichen überzugehen, aber immerhin ist es ein Punkt, der von uns beiden für richtig befunden wurde.)

Ich halte es von hier aus für eine logisch korrekte und unmittelbare Schlussfolgerung, dass es keine größte natürlicher Zahl mit endlicher Ziffernfolge (also kein Ende des Strahls, auf dem in gleichem Abstand der Größe nach geordnet die natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge angeordnet sind) geben kann. Wenn es diese größte nämlich gäbe, könnte man auch zu ihr 1 addieren und erhielte, wie ja für ALLE natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge bewiesen und für richtig befunden, wieder eine natürliche Zahl mit endlicher Ziffernfolge, was ein Widerspruch dazu wäre, dass es sich um die größte gehandelt haben soll. Es kann also keine größte geben.
Wo sehen Sie in diesem einfachen logischen Schritt einen Fehler? Mir ist klar, dass Sie anders an das Thema herangehen, den von mir eingeschlagenen Weg empfinden Sie wahrscheinlich als unwegsam und nicht zielführend und halten es deshalb vielleicht für ausreichend, ohne nähere inhaltliche Analyse darauf hinzuweisen, dass er, von Ihrem Weg aus betrachtet, nur falsch sein KANN. Aber da es sich ja nur um einen kleinen logischen Schritt handelt, möchte ich Sie doch bitten, ob Sie, wenn er falsch ist, einen direkten Grund ausfindig machen können, warum er falsch ist, ohne an dieser Stelle gleich den Weg zu wechseln. Da Logik funktioniert, pflegt es solche direkten Gründe ja zu geben.


Mir aber scheint, daß Sie Schwierigkeiten haben, das Unendlich zu denken. N enthält unendlich viele Elemente, was Sie m.E. nicht berücksichtigen, die wir alle der Größe nach ordnen können, was wir ABZÄHLBAR UNENDLICH nennen.

Könnte natürlich sein, mir scheint es aber nicht so. Wenn es stimmt, dass die natürlichen Zahlen mit endlicher Ziffernfolge bereits unendlich viele Elemente enthalten, dann berücksichtige ich so oder so, dass N unendlich viele Elemente enthält, wenn Sie mir auf die Frage oben einen Grund nennen könnten, warum das falsch ist, dann wäre das Grund genug, meine Vorstellung als falsch zu betrachten.

Und denken kann man, jedenfalls ich, einen unendlichen Prozeß zu Ende, so daß doch ein Ergebnis vorliegt.

Nein, weil die endliche Ziffernfolge überschritten wird.
Dazu habe ich mal folgendes Bild entwickelt. Wir fliegen auf einer Geraden durch das Weltall, haben Sonnen vor uns und hinter uns. Irgendwann haben wir keine Sonnen mehr vor uns, sondern nur noch hinter uns. Dann schmilzt das gesamte Weltall hinter uns zu einem Punkt zusammen - wie sind noch im Endlichen. Ist auch dieser Weltall-Punkt verschwunden, sind wir in der Unendlichkeit. Es gibt kein ZURÜCK mehr; jegliche Orientierung ist verloren.

Das Bild hilft mir schon ein wenig weiter. Aber letztlich bin ich mir auch hier nicht sicher, warum man den Prozess zwangsläufig so wie Sie zuende denken muss und es nicht auch so tun könnte, dass das Weltall hinter einem endlos immer kleiner wird.
Vor allem scheint mir, wenn ich es wie Sie zuende denke und dann in der Unendlichkeit bin, wo jede Orientierung und jede Unterscheidungsfähigkeit verloren ist, eher, dieser unendliche Bereich müsste aus nur einem Punkt bestehen und würde keinen Platz für ...111 und ...999 und alles dazwischen bieten.

Sie setzen hier voraus, dass Wurzel 2 durch eine Ziffernfolge gegeben ist,
Nein. Auch Wurzel 2 ist ein Ziffernfolge, welche auch immer, die durchlaufen wird, ohne sie dabei als Wurzel 2 zu erkennen.

Und WARUM sollte sich Wurzel 2 unter allen Ziffernfolgen befinden?

Ich verstehe unter Wurzel 2 die positive standard-reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt (oder die Diagonalenlänge im Einheitsquadrat).
Sie klammern sich an solche Ausnahmefälle. PI^2 können Sie ja auch nicht als Ziffernfolge darstellen.

Wurzel 2 auch nicht. Dazu sehe ich eben auch keine Notwendigkeit.

Hier wird klar definiert, was unter reellen Zahlen verstanden wird, und klar gesagt, welche reelle Zahl als Summe oder Produkt zweier gegebener reeller Zahlen verstanden wird. Dies ist die einfachste mir bekannte Definition. Eine andere haben wir (noch) nicht - wenn Sie irgendwie ganz "selbstverständlich" sagen können, wie Sie zwei Ziffernfolgen multiplizieren, dann stört es mich nicht, wenn die Definition nicht "hochwissenschaftlich" aussieht, keine Mengenklammern enthält usw.
Sie verrennen sich da m.E. in etwas, was nicht real ist. Diese Definition ist eine Definition, nicht mehr, unsinnig.

Auch diese Definition ist eine Gedankenoperation; sie folgt dem Kommutativ-, Assoziativ- Monotoniegesetzen usw.; aus ihr ergibt sich z.B. oder , also "richtige Ergebnisse", und alle anderen standard-reellen Zahlen, auch die, die nur denkbar sind und mit denen man nicht so wie mit Wurzel 2 arbeiten kann, werden nach genau demselben Muster addiert und multipliziert. Was soll daran so unsinnig sein?

Unsinn. Sie können doch auch nicht sagen, aus wieviel Atomen Ihr Körper besteht und es sind nur endlich viele. Wo ist das Klarheit?

An der Aussage, der Körper besteht aus einer wohlbestimmten Anzahl von Atomen, sie sind aber so klein und so viele, dass man sie nicht zählen kann, sehe ich nichts Unverständliches oder Unklares.



Nachdem ich (wie mitgeteilt) bemerkte, dass innerhalb Ihrer Voraussetzungen auch R abzählbar sein müsste, dass es dann also in letzter Konsequenz möglicherweise gar keine überabzählbaren Mengen geben sollte, versuchte ich, die Menge aller denkbaren Mächtigkeiten von Mengen (also die Menge aller denkbaren "Anzahlen von Objekten", wobei z.B. auch die Größe von R als eine solche mögliche Anzahl betrachtet wird) als Menge der natürlichen Zahlen in einem gegenüber meiner Betrachtungsweise erweiterten Sinne, der vielleicht Ihrer Auffasung etwas näher kommt, zu betrachten. Dabei hat sich das Problem ergeben, dass es zu jeder Menge eine größere gibt, nämlich die Potenzmenge, dass also selbst in diesem erweiterten Sinne eine größte Zahl nicht einmal gedanklich zugänglich ist.