ich beziehe mich auf den Abschnitt "Natürliche Zahlen" zu Beginn des Textes über Mathematik ([1]) auf der Homepage von Herrn Georg Todoroff. Dort steht geschrieben:
Zur "denkbar größten" natürlichen Zahl:Definitionen:
- Jeder Bruch, welcher besteht aus einer von Null verschiedenen, reellen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner, hat als Ergebniswert eine von Null verschiedene, reelle Zahl.
- ...999,0 ist eine natürliche Zahl.
- ...999,0 ist die denkbar größte natürliche Zahl.
- Die kleinste von Null verschiedene, reelle, positive Zahl, definiert als der Nachfolger der natürlichen Zahl Null, ist der Ergebniswert aus den Rechenoperationen:
a) 1 - 0,999...
b) 1 / ...999,0
c) Grenzwert des Bruches 1 / n wobei n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft.- [...]
Angenommen, ...999,0 sei die "denkbar größte" natürliche Zahl, im folgenden genannt. Da eine natürliche Zahl ist, hat sie einen Nachfolger , mit . Die Funktion ist injektiv. Nun gilt , im Widerspruch zur postulierten Eigenschaft von , die "denkbar größte" natürliche Zahl zu sein. Also gibt es keine "denkbar größte" natürliche Zahl.
Zur "kleinsten von Null verschiedenen", reellen, positiven Zahl:
Angenommen, eine solche Zahl existiere. Da der Körper der reellen Zahlen unter Multiplikation abgeschlossen ist, ist auch s = 1/2 * r eine reelle Zahl. Diese Zahl wiederum muss positiv und von r verschieden sein, da das neutrale Element der Multiplikation in einem Körper eindeutig bestimmt ist (es handelt sich hierbei um 1). Da r nach Voraussetzung die kleinste positive reelle Zahl ist, gilt
Plump gesagt handelt sich bei dem Ganzen also, wie manchen Wissenschaftlern hier gerne unterstellt wird, um eine Lüge vom Niveau 2 < 1 ;-). Wenn man es wohlwollend betrachtet, handelt es sich zumindest nicht um eine bloße Erweiterung der konventionellen Mathematik, sondern um Ihre Ersetzung durch eine völlig neue, die mit der konventionellen fast nichts gemein hat, außer den verwendeten Begriffen, die jedoch einen völlig anderen Sinngehalt bekommen. Mit dem Verlust der Peano- und Körperaxiome geht insbesondere die komplette Analysis und Zahlentheorie den Bach runter.
Falls jemand unter Voraussetzung der gängigen Axiome der Mathematik einen Fehler in den obigen Beweisen findet, würde mich das sehr interessieren!
Quellen:
[1] http://www.gtodoroff.de/mathe.htm