Bretterrätsel

[Elrik]

Bekomme ich eine kurze Rückmeldung, ob sich jemand ernsthaft mit diesem Rätsel auseinandersetzt?

Vielleicht, wahrscheinlicher ist jedoch: "Nein!" Es müsste nämlich lauten: "Geben sie mir (bitte) eine kurze Rückmeldung,..." Ob sie eine bekommen, kann Ihnen und wird Ihnen darum niemand sagen, denn das werden Sie sehen!

[edu]

Ok, dann kommt hier die Lösung:

Zuerst ein Bild zur Veranschaulichung:





Das 3m-Brett wird durch die Gerade a, das 2m-Brett durch die Gerade b dargestellt. Der Abstand der jeweiligen Bretter vom Boden wird als ha bzw. hb bezeichnet. Die gesuchte Breite nennen wir c.

Zu Beginn stellen wir die ersten beiden Gleichungen mit Hilfe des Satz des Pythagoras auf:



Nun subtrahieren wir (2) von (1):



Dies werden wir später noch benötigen.

Wenden wir uns nun den Brettern, oder besser, den Geraden zu. Wir betrachten den Raum als Koordinatensystem mit der linken unteren Ecke als Ursprung. Jede Gerade hat die Form y = m⋅x + b. Beide Geradengleichungen können wir aufstellen:





Den Schnittpunkt beider Geraden erhalten wir durch Gleichsetzen, anschließend lösen wir nach x auf:



Nun "kennen" wir den x-Wert des Schnittpunkts, der dazugehörige y-Wert beträgt 1. Jetzt müssen wir nur den x-Wert in eine der Geradengleichungen einsetzen. Wir entscheiden uns für die Gerade a.

Wir erhalten:




Jetzt lösen wir diese Gleichung nach ha auf:



Erinnern wir uns nun an Gleichung (3).



Die Werte von a und b sind bekannt, für ha können wir die oben erhaltene Formel einsetzen. Somit haben wir nur noch eine Unbekannte hb.



Nach ein paar kleineren Umformungen bekommen wir folgende Gleichung vierten Grades:



Jede Gleichung n-ten Grades hat n Lösungen. Somit erhalten wir hier vier Lösungen:



Die ersten zwei Lösungen sind komplexer Natur, weshalb sie als Teillösung unseres Rätsels nicht in Frage kommen. Die dritte Lösung können wir auch ausschließen, denn sollte Brett b in ca. 0,7m Höhe an der Wand lehnen, so könnten sich ummöglich beide Bretter auf 1m Höhe "treffen".
Wir haben also die vierte Lösung als die richtige erkannt und setzen diesen Wert in Gleichung (2) ein und erhalten
das Endergebnis: c = 1,231

[Elrik]

Sie haben da ja jetzt dicke schwarze Linien gezeichnet, die wohl auch die Bretter sein sollen. Sie wissen aber nicht wie dick die beiden Bretter sind, kennen somit die Breite des Raumes immer noch nicht.

[Elrik]

Ausserdem hängen Bretter aufgrund der Schwerkraft, sofern sie nicht sehr dick sind, deutlich durch und können keine geraden Linien darstellen. Also stimmt Ihre Zeichnung und Rechnung nicht!

[edu]

Ausserdem hängen Bretter aufgrund der Schwerkraft, sofern sie nicht sehr dick sind, deutlich durch und können keine geraden Linien darstellen. Also stimmt Ihre Zeichnung und Rechnung nicht!

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil:

Natürlich dienen die Bretter nur der Anschaulichkeit, wir wollen aus mathematischer Sicht von Geraden ausgehen.

[Todoroff]

Wie haben Sie das Polynom 4. Grades gelöst?

1 Johannes 5,4
Alles, was von Gott stammt, besiegt die Welt. Und das ist der Sieg, der die Welt besiegt hat: unser Glaube.

[Elrik]

Ausserdem hängen Bretter aufgrund der Schwerkraft, sofern sie nicht sehr dick sind, deutlich durch und können keine geraden Linien darstellen. Also stimmt Ihre Zeichnung und Rechnung nicht!

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil:

Natürlich dienen die Bretter nur der Anschaulichkeit, wir wollen aus mathematischer Sicht von Geraden ausgehen.

Meinen Sie nicht, dass ihr Hirn schon Brei ist bei ihrem Hirnjogging? Wann, meinen Sie, wollte ich mir einen Vorteil bei Ihnen verschaffen? Sie sollten die Bretter vor Ihrem Kopf fragen, ob die sich nicht langsam von Ihnen lösen wollen. Ich glaube aber, dass die auch dieses Mal nicht tun werden, was Sie ihnen diktieren! Bretter sind eben flexibel und tun was sie tun sollen, weil Gott es so will.

[edu]

Wie haben Sie das Polynom 4. Grades gelöst?

Ich tausche jetzt einfach hb durch x aus.

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y + 0,5)^4 - 2(y + 0,5)³ + 5(y + 0,5)² - 10(y + 0,5) + 5 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = 3,5
q = a³/8-ab/2+c = -6
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 1,0625

y^4 + 3,5y² - 6y + 1,0625 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ - 7z² + 8z + 36 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————


Lösen der kubischen Gleichung x³ - 7x² + 8x + 36 = 0
—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 2,3333333333333335)³ - 7(y + 2,3333333333333335)² + 8(y + 2,3333333333333335) + 36 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -8,333333333333332
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 29,25925925925926

y³ - 8,333333333333332y + 29,25925925925926 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -8,333333333333332 q = 29,25925925925926

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 192,5925925925926.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 13,877773329774218

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -0,9093092612193393

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -3,0548218260230997

y_1 = u + v = -3,964131087242439

y_2 = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 1,9820655436212196 - 1,858068385258763·î

y_3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 1,9820655436212196 + 1,858068385258763·î


Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-7 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x_1 = -1,6307977539091056

x_2 = 4,3153988769545535 - 1,8580683852587638·î

x_3 = 4,3153988769545535 + 1,8580683852587638·î


—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z_1 = -1,6307977539091056

z_2 = 4,3153988769545535 - 1,8580683852587638·î

z_3 = 4,3153988769545535 + 1,8580683852587638·î


Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 36.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y_1 = ( sqr(-z_1 ) + sqr(-z_2 ) + sqr(-z_3 ) ) / 2

y_2 = ( sqr(-z_1 ) - sqr(-z_2 ) - sqr(-z_3 ) ) / 2

y_3 = (-sqr(-z_1 ) + sqr(-z_2 ) - sqr(-z_3 ) ) / 2

y_4 = (-sqr(-z_1 ) - sqr(-z_2 ) + sqr(-z_3 ) ) / 2


wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 6 ist.

Die Wurzeln

sqr(1,6307977539091056) = -1,2770269198059632
sqr(-4,3153988769545535 + 1,8580683852587638·î) = 0,43761525107324933 + 2,122947475781362·î
sqr(-4,3153988769545535 - 1,8580683852587638·î) = -0,43761525107324933 + 2,122947475781362·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y_1 = -0,6385134599029815 + 2,122947475781362·î

y_2 = -0,6385134599029815 - 2,122947475781362·î

y_3 = 1,076128710976231

y_4 = 0,2008982088297322


und nach Subtraktion von a/4 ( = -0,5 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x_1 = -0,1385134599029815 + 2,122947475781362·î

x_2 = -0,1385134599029815 - 2,122947475781362·î

x_3 = 1,576128710976231

x_4 = 0,7008982088297322